Если у большинства учеников поинтересоваться знают ли они какую либо формулу, они ответят утвердительно, поскольку они ее где-то видели, она на что-то похожа. Более того, если ученики немного понимают о чем эта формула, то убеждённость в ее знании максимальна. В целом школьники и студенты не понимают разницы между понимаем формулы и «я это видел в википедии» или «я знаю где это найти, я помню картинку», «мы это уже делали в школе». Происходит подмена понятий истинности знаний имитацией ознакомления. Отсюда массовость дипломированных дилетантов, прошедших экзаменационные барьеры  и оттого укрепившихся в собственной образованности, с деформированным понятием истинности, точности, поверхностным знаниям, неспособностью критического анализа, путающих имитацию с реальностью.

Все это заблуждение. Знать формулы – значит знать полноценно, во всех проявлениях. Они лишь видели, лишь примерно представляют как это выглядит.  Но! Нужно иметь еще смысловое понимание, то есть: что она связывает, делает, какие превращения происходят с помощью неё.  И надо уметь говорить формулу и ее объяснение бегло, быстро и наизусть. Но и это еще не знание. Это лишь 1-ый уровень знания формулы.

2-ой уровень - уметь применять в разнообразных ситуациях, адаптировать к различным формам, выражениям. т.е. знать формулу в деле, работе, действии.

Но и это не все!

Настоящее знание - 3-ий уровень- это видеть возможности применения, предсказывать итог адаптации, уметь предугадывать последствия, видеть "там где его еще не видно".

Кстати, лишь выход на 3-ий уровень гарантирует беглость знания формулы. Иначе это зубрежка, причём малоэффективная для дальнейшего использования.

Как этого достичь? Только интенсивными, своевременными и объемными тренировками, чтобы количество перерастало в качество. И, конечно, с нарастанием сложности примеров. Сначала на легких, чтобы осознать и «узреть», далее на средних для освоения возможностей и, наконец, закреплять на примерах, требующих немного мысленного напряжения. Только в таком случае мозг сам создаст нужные образы, ассоциации и  представления действий. Только так. Через работу, через выполнение не ниже критического порога достаточности.

Остается вопрос, как организовать эффективный тренинг, с полным погружением и охватом достаточного количества ситуаций, проявлений?

Наши интерактивные упражнения позволяют достичь поставленных задач, поскольку в них встроен всевидящий виртуальный учитель, а одному живому учителю достаточно затруднительно проверять и контролировать процесс решения многих задач, даже легких у каждого ученика. С внедрением онлайн оценки и виртуального учителя процесс тренинга становится быстрым и эффективным. Особенно с учётом онлайн поправок и указания ошибок. Генератор примеров обеспечит упорядоченность и охват предлагаемых примеров, но, что более важно, при обновлении одним кликом есть возможность получить  повторно  и\или дополнительно  обучающие процедуры.

В итоге, цель становится  достигнутой! Формулы осваиваются учеником до высокого уровня  лишь через количество выполненных интерактивных уроков, разумеется с долей разумного упорства. Особенно ценен опыт исправления ошибок, указанных онлайн учителем. При размышлениях над собственными ошибками, порой методом проб и ошибок, психологическом комфорте присутствия лишь виртуального преподавателя, ученик познает истинность формулы, его свойства, назначение – видит их в деле, видит ложность неверных трактовок.